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Nota: Se procura o jogo de origem alemã, veja Se procura o jogo de origem alemã, veja Bolão (esporte)

Bolão é 8️⃣ uma modalidade de aposta, inoficiosa na maioria dos casos, que pode ocorrer de duas formas - numa, vários apostadores se 8️⃣ juntam para adquirir uma série de cartões de apostas, aumentando assim a probabilidade de acertos, e com posterior divisão dos 8️⃣ prêmios;[1] e a variante popular, que é a de apostar no resultado de um evento futuro, em geral esportivo como 8️⃣ os gols de uma partida de futebol.

Bolão de apostas [ editar | editar código-fonte ]

Este tipo de "bolão" é bastante 8️⃣ difundido no Brasil, tendo sido incorporado informalmente pelas casas lotéricas como forma de vender mais bilhetes de concursos como a 8️⃣ Mega-Sena - neste último caso tornado bastante conhecido no início de 2010, quando um grupo de apostadores do Rio Grande 8️⃣ do Sul deixou de ganhar um prêmio recorde da loteria quando a funcionária do estabelecimento deixou de registrar os números 8️⃣ no sistema operado pela Caixa Econômica Federal, ensejando a abertura de inquérito policial[2] e uma declaração oficial da entidade financeira 8️⃣ negando apoio a este tipo de prática das lotéricas credenciadas.[3][4]

Bolão de prognóstico [ editar | editar código-fonte ]

Modalidade bastante difundida, 8️⃣ sobretudo nos países hispânicos, quando recebe o nome de polla (hispanificação da palavra inglesa poll - que pode ser traduzida 8️⃣ como apuração de votos)[5], chegando a ser institucionalizada em alguns lugares, como no Chile, em que os prognósticos são feitos 8️⃣ por uma empresa governamental.[6]

Neste caso, as apostas são recolhidas individualmente, e cada apostador indica qual o resultado em um evento 8️⃣ futuro, que podem ir do placar de uma partida desportiva ao número de votos de um candidato numa eleição.

Também ocorre 8️⃣ no caso de um campeonato, em que se aposta quais equipes passarão para uma fase seguinte.[7]

Este modelo de bolão é 8️⃣ muito utilizado no Brasil em especial na Copa do Mundo de Futebol da FIFA.

Diversos grupos de amigos, colegas de trabalho, 8️⃣ familiares se organizam para fazer os prognósticos dos resultados dos jogos da competição através de sites e aplicativos de celular.[8]

Em 8️⃣ teoria das probabilidades, um martingale é um modelo de jogo honesto (fair game) em que o conhecimento de eventos passados 8️⃣ nunca ajuda a prever os ganhos futuros e apenas o evento atual importa.

Em particular, um martingale é uma sequência de 8️⃣ variáveis aleatórias (isto é, um processo estocástico) para o qual, a qualquer tempo específico na sequência observada, a esperança do 8️⃣ próximo valor na sequência é igual ao valor presentemente observado, mesmo dado o conhecimento de todos os valores anteriormente observados.[1]

O 8️⃣ movimento browniano parado é um exemplo de martingale.

Ele pode modelar um jogo de cara ou coroa com a possibilidade de 8️⃣ falência.

Em contraste, em um processo que não é um martingale, o valor esperado do processo em um tempo pode ainda 8️⃣ ser igual ao valor esperado do processo no tempo seguinte.

Entretanto, o conhecimento de eventos anteriores (por exemplo, todas as cartas 8️⃣ anteriormente retiradas de um baralho) pode ajudar a reduzir a incerteza sobre os eventos futuros.

Assim, o valor esperado do próximo 8️⃣ evento, dado o conhecimento do evento presente e de todos os anteriores, pode ser mais elevado do que o do 8️⃣ presente evento se uma estratégia de ganho for usada.

Martingales excluem a possibilidade de estratégias de ganho baseadas no histórico do 8️⃣ jogo e, portanto, são um modelo de jogos honestos.

É também uma técnica utilizada no mercado financeiro, para recuperar operações perdidas.

Dobra-se 8️⃣ a segunda mão para recuperar a anterior, e assim sucessivamente, até o acerto.

Martingale é o sistema de apostas mais comum 8️⃣ na roleta.

A popularidade deste sistema se deve à casa de aposta aplicativo simplicidade e acessibilidade.

O jogo Martingale dá a impressão enganosa de vitórias 8️⃣ rápidas e fáceis.

A essência do sistema de jogo da roleta Martingale é a seguinte: fazemos uma aposta em uma chance 8️⃣ igual de roleta (vermelho-preto, par-ímpar), por exemplo, no "vermelho": fazemos uma aposta na roleta por 1 dólar; se você perder, 8️⃣ dobramos e apostamos $ 2.

Se perdermos na roleta, perderemos a aposta atual ($ 2) e a aposta anterior ($ 1) 8️⃣ de $ 3.4, por exemplo.

duas apostas ganham (1 + 2 = $ 3) e temos um ganho líquido de $ 8️⃣ 1 na roleta.

Se você perder uma segunda vez na roleta Martingale, dobramos a aposta novamente (agora é $ 4).

Se ganharmos, 8️⃣ ganharemos de volta as duas apostas anteriores (1 + 2 = 3 dólares) e a atual (4 dólares) da roda 8️⃣ da roleta, e novamente ganharemos 1 dólar do cassino [2].

Originalmente, a expressão "martingale" se referia a um grupo de estratégias 8️⃣ de aposta popular na França do século XVIII.

[3][4] A mais simples destas estratégias foi projetada para um jogo em que 8️⃣ o apostador ganhava se a moeda desse cara e perdia se a moeda desse coroa.

A estratégia fazia o apostador dobrar 8️⃣ casa de aposta aplicativo aposta depois de cada derrota a fim de que a primeira vitória recuperasse todas as perdas anteriores, além de 8️⃣ um lucro igual à primeira aposta.

Conforme o dinheiro e o tempo disponível do apostador se aproximam conjuntamente do infinito, a 8️⃣ possibilidade de eventualmente dar cara se aproxima de 1, o que faz a estratégia de aposta martingale parecer como algo 8️⃣ certo.

Entretanto, o crescimento exponencial das apostas eventualmente leva os apostadores à falência, assumindo de forma óbvia e realista que a 8️⃣ quantidade de dinheiro do apostador é finita (uma das razões pelas quais casinos, ainda que desfrutem normativamente de uma vantagem 8️⃣ matemática nos jogos oferecidos aos seus clientes, impõem limites às apostas).

Um movimento browniano parado, que é um processo martingale, pode 8️⃣ ser usado para descrever a trajetória de tais jogos.

O conceito de martingale em teoria das probabilidades foi introduzido por Paul 8️⃣ Lévy em 1934, ainda que ele não lhes tivesse dado este nome.

[5] O termo "martingale" foi introduzido em 1939 por 8️⃣ Jean Ville,[6] que também estendeu a definição à martingales contínuos.

[7] Muito do desenvolvimento original da teoria foi feito por Joseph 8️⃣ Leo Doob, entre outros.

[8] Parte da motivação daquele trabalho era mostrar a impossibilidade de estratégias de aposta bem-sucedidas.[9]

Uma definição básica 8️⃣ de um martingale de tempo discreto diz que ele é um processo estocástico (isto é, uma sequência de variáveis aleatórias) 8️⃣ X 1 , X 2 , X 3 , ...

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...

} de tempo discreto que satisfaz, para qualquer tempo n 8️⃣ {\displaystyle n} ,

E ( | X n | ) < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert X_{n}\vert )<\infty }

E ( X 8️⃣ n + 1 ∣ X 1 , .

, X n ) = X n .

{\displaystyle \mathbf {E} (X_{n+1}\mid X_{1},\ldots 8️⃣ ,X_{n})=X_{n}.}

Isto é, o valor esperado condicional da próxima observação, dadas todas as observações anteriores, é igual à mais recente observação.[10]

Sequências 8️⃣ martingale em relação a outra sequência [ editar | editar código-fonte ]

Mais geralmente, uma sequência Y 1 , Y 2 8️⃣ , Y 3 , ...

{\displaystyle Y_{1},Y_{2},Y_{3},...

} é considerada um martingale em relação a outra sequência X 1 , X 2 8️⃣ , X 3 , ...

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...

} se, para todo n {\displaystyle n} ,

E ( | Y n | ) < 8️⃣ ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{n}\vert )<\infty }

E ( Y n + 1 ∣ X 1 , .

, X 8️⃣ n ) = Y n .

{\displaystyle \mathbf {E} (Y_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=Y_{n}.}

Da mesma forma, um martingale de tempo contínuo em relação 8️⃣ ao processo estocástico X t {\displaystyle X_{t}} é um processo estocástico Y t {\displaystyle Y_{t}} tal que, para todo t 8️⃣ {\displaystyle t} ,

E ( | Y t | ) < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{t}\vert )<\infty }

E ( Y 8️⃣ t ∣ { X τ , τ ≤ s } ) = Y s ∀ s ≤ t .

{\displaystyle \mathbf 8️⃣ {E} (Y_{t}\mid \{X_{\tau },\tau \leq s\})=Y_{s}\quad \forall s\leq t.}

Isto expressa a propriedade de que o valor esperado condicional de qualquer 8️⃣ observação no tempo t {\displaystyle t} , dadas todas as observações até o tempo s {\displaystyle s} , é igual 8️⃣ à observação no tempo s {\displaystyle s} (considerando que s ≤ t {\displaystyle s\leq t} ).

Em geral, um processo estocástico 8️⃣ Y : T × Ω → S {\displaystyle Y:T\times \Omega \to S} é um martingale em relação a uma filtração 8️⃣ Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} e medida de probabilidade P {\displaystyle P} se

Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} espaço de probabilidade 8️⃣ subjacente ( Ω , Σ , P {\displaystyle \Omega ,\Sigma ,P}

espaço de probabilidade subjacente ( Y {\displaystyle Y} Σ ∗ 8️⃣ {\displaystyle \Sigma _{*}} t {\displaystyle t} T {\displaystyle T} Y t {\displaystyle Y_{t}} função mensurável Σ τ {\displaystyle \Sigma _{\tau 8️⃣ }}

função mensurável Para cada t {\displaystyle t} Y t {\displaystyle Y_{t}} espaço Lp L 1 ( Ω , Σ t 8️⃣ , P ; S ) {\displaystyle L^{1}(\Omega ,\Sigma _{t},P;S)}

E P ( | Y t | ) < + ∞ ; 8️⃣ {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }(|Y_{t}|)<+\infty ;}

Para todo s {\displaystyle s} t {\displaystyle t} s < t {\displaystyle s

E P ( [ Y t − Y s ] χ F ) = 8️⃣ 0 , {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,} em que χ F {\displaystyle \chi _{F}} função indicadora do evento 8️⃣ F {\displaystyle F} A última condição é denotada como Y s = E P ( Y t | Σ s 8️⃣ ) , {\displaystyle Y_{s}=\mathbf {E} _{\mathbf {P} }(Y_{t}|\Sigma _{s}),} que é uma forma geral de valor esperado condicional.[ 11 ]

É 8️⃣ importante notar que a propriedade martingale envolve tanto a filtração, como a medida de probabilidade (em relação à qual os 8️⃣ valores esperados são assumidos).

É possível que Y {\displaystyle Y} seja um martingale em relação a uma medida, mas não em 8️⃣ relação a outra.

O Teorema de Girsanov oferece uma forma de encontrar uma medida em relação à qual um processo de 8️⃣ Itō é um martingale.[12]

Exemplos de martingales [ editar | editar código-fonte ]

Um passeio aleatório não viesado (em qualquer número de 8️⃣ dimensões) é um exemplo de martingale.

O dinheiro de um apostador é um martingale se todos os jogos de aposta com 8️⃣ que ele se envolver forem honestos.

Uma urna de Pólya contém uma quantidade de bolas de diferentes cores.

A cada iteração, uma 8️⃣ bola é aleatoriamente retirada da urna e substituída por várias outras da mesma cor.

Para qualquer cor dada, a fração das 8️⃣ bolas na urna com aquela cor é um martingale.

Por exemplo, se atualmente 95% da bolas são vermelhas, então, ainda que 8️⃣ a próxima iteração mais provavelmente adicione bolas vermelhas e não de outra cor, este viés está exatamente equilibrado pelo fato 8️⃣ de que adicionar mais bolas vermelhas altera a fração de forma muito menos significativa do que adicionar o mesmo número 8️⃣ de bolas não vermelhas alteraria.

Suponha que X n {\displaystyle X_{n}} moeda honesta foi jogada n {\displaystyle n}

moeda honesta foi jogada 8️⃣ Considere Y n = X n 2 − n {\displaystyle Y_{n}={X_{n}}^{2}-n} X n {\displaystyle X_{n}} { Y n : n 8️⃣ = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...

\}} raiz quadrada do número de vezes que a moeda for 8️⃣ jogada.

raiz quadrada do número de vezes que a moeda for jogada.

No caso de um martingale de Moivre, suponha que a 8️⃣ moeda é desonesta, isto é, viesada, com probabilidade p {\displaystyle p} q = 1 − p {\displaystyle q=1-p}

X n + 8️⃣ 1 = X n ± 1 {\displaystyle X_{n+1}=X_{n}\pm 1} com + {\displaystyle +} − {\displaystyle -}

Y n = ( q 8️⃣ / p ) X n .

{\displaystyle Y_{n}=(q/p)^{X_{n}}.}

Então, { Y n : n = 1 , 2 , 3 , ...

} 8️⃣ {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...

\}} { X n : n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...

\}} E [ Y 8️⃣ n + 1 ∣ X 1 , .

, X n ] = p ( q / p ) X 8️⃣ n + 1 + q ( q / p ) X n − 1 = p ( q / p 8️⃣ ) ( q / p ) X n + q ( p / q ) ( q / p ) 8️⃣ X n = q ( q / p ) X n + p ( q / p ) X n 8️⃣ = ( q / p ) X n = Y n .

{\displaystyle {\begin{aligned}E[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\[6pt]&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\[6pt]&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}}

No teste de razão de verossimilhança 8️⃣ em estatística, uma variável aleatória X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} amostra aleatória X 1 , ...

, 8️⃣ X n {\displaystyle X_{1},...

,X_{n}} [ 13 ] Considere Y n {\displaystyle Y_{n}}

Y n = ∏ i = 1 n g 8️⃣ ( X i ) f ( X i ) {\displaystyle Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i})}{f(X_{i})}}}

Se X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} g 8️⃣ {\displaystyle g} { Y n : n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...

\}} { X n 8️⃣ : n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}}

Suponha que uma ameba se divide em duas amebas 8️⃣ com probabilidade p {\displaystyle p} 1 − p {\displaystyle 1-p} X n {\displaystyle X_{n}} n {\displaystyle n} X n = 8️⃣ 0 {\displaystyle X_{n}=0} r {\displaystyle r} r {\displaystyle r} p {\displaystyle p} [ 14 ] Então

{ r X n : 8️⃣ n = 1 , 2 , 3 , .

} {\displaystyle \{\,r^{X_{n}}:n=1,2,3,\dots \,\}}

é um martingale em relação a { X 8️⃣ n : n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}}

Uma série martingale criada por software.

Em uma comunidade 8️⃣ ecológica (um grupo de espécies em um nível trófico particular, competindo por recursos semelhantes em uma área local), o número 8️⃣ de indivíduos de qualquer espécie particular de tamanho fixado é uma função de tempo (discreto) e pode ser visto como 8️⃣ uma sequência de variáveis aleatórias.

Esta sequência é um martingale sob a teoria neutra unificada de biodiversidade e biogeografia.

Se { N 8️⃣ t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}:t\geq 0\}} processo de Poisson com intensidade λ {\displaystyle \lambda } { N 8️⃣ t − λ t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}-\lambda _{t}:t\geq 0\}}

Submartingales, supermartingales e relação com funções harmônicas [ 8️⃣ editar | editar código-fonte ]

Há duas generalizações populares de um martingale que também incluem casos em que a observação atual 8️⃣ X n {\displaystyle X_{n}} não é necessariamente igual à futura expectativa condicional E [ X n + 1 | X 8️⃣ 1 , ...

, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...

,X_{n}]} , mas, em vez disto, a um limite superior ou inferior à 8️⃣ expectativa condicional.

Estas definições refletem uma relação entre a teoria do martingale e a teoria do potencial, que é o estudo 8️⃣ das funções harmônicas.

[15] Assim como um martingale de tempo contínuo satisfaz a E [ X t | { X τ 8️⃣ : τ ≤ s } − X s = 0 ∀ s ≤ t {\displaystyle E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}-X_{s}=0\forall s\leq 8️⃣ t} , uma função harmônica f {\displaystyle f} satisfaz a equação diferencial parcial Δ f = 0 {\displaystyle \Delta f=0} 8️⃣ , em que Δ {\displaystyle \Delta } é o operador de Laplace.

Dado um processo de movimento browniano W t {\displaystyle 8️⃣ W_{t}} e uma função harmônica f {\displaystyle f} , o processo resultante f ( W t ) {\displaystyle f(W_{t})} também 8️⃣ é um martingale.

Um submartingale de tempo discreto é uma sequência X 1 , X 2 , X 3 , .

8️⃣ {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots } integráveis que satisfaz a

E [ X n + 1 | X 1 , .

, X n 8️⃣ ] ≥ X n .

{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n}.

} Da mesma forma, um submartingale de tempo contínuo satisfaz a E [ 8️⃣ X t | { X τ : τ ≤ s } ] ≥ X s ∀ s ≤ t .

{\displaystyle 8️⃣ {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\geq X_{s}\quad \forall s\leq t.

} Em teoria do potencial, uma função sub-harmônica f {\displaystyle f} Δ f 8️⃣ ≥ 0 {\displaystyle \Delta f\geq 0} Grosso modo, o prefixo "sub-" é consistente porque a atual observação X n {\displaystyle 8️⃣ X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 , ...

, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]}

De forma análoga, um 8️⃣ supermartingale de tempo discreto satisfaz a

E [ X n + 1 | X 1 , .

, X n ] 8️⃣ ≤ X n .

{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n}.

} Da mesma forma, um supermartingale de tempo contínuo satisfaz a E [ X 8️⃣ t | { X τ : τ ≤ s } ] ≤ X s ∀ s ≤ t .

{\displaystyle {}E[X_{t}|\{X_{\tau 8️⃣ }:\tau \leq s\}]\leq X_{s}\quad \forall s\leq t.

} Em teoria do potencial, uma função super-harmônica f {\displaystyle f} Δ f ≤ 8️⃣ 0 {\displaystyle \Delta f\leq 0} Grosso modo, o prefixo "super-" é consistente porque a atual observação X n {\displaystyle X_{n}} 8️⃣ E [ X n + 1 | X 1 , ...

, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]}

Exemplos de submartingales e supermartingales 8️⃣ [ editar | editar código-fonte ]

Todo martingale é também um submartingale e um supermartingale.

Reciprocamente, todo processo estocástico que é tanto 8️⃣ um submartingale, como um supermartingale, é um martingale.

Considere novamente um apostador que ganha $1 quando uma moeda der cara e 8️⃣ perde $1 quando a moeda der coroa.

Suponha agora que a moeda possa estar viesada e que ela dê cara com 8️⃣ probabilidade p {\displaystyle p} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 8️⃣ {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2}

Uma função convexa de um martingale é um submartingale pela 8️⃣ desigualdade de Jensen.

Por exemplo, o quadrado da riqueza de um apostador em jogo de moeda honesta é um submartingale (o 8️⃣ que também se segue do fato de que X n 2 − n {\displaystyle {X_{n}}^{2}-n}

Martingales e tempos de parada [ 8️⃣ editar | editar código-fonte ]

Um tempo de parada em relação a uma sequência de variáveis aleatórias X 1 , X 8️⃣ 2 , X 3 , ...

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...

} é uma variável aleatória τ {\displaystyle \tau } com a propriedade de que 8️⃣ para cada t {\displaystyle t} , a ocorrência ou a não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau =t} 8️⃣ depende apenas dos valores de X 1 , X 2 , X 3 , ...

, X t {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{t}} .

A 8️⃣ intuição por trás da definição é que, a qualquer tempo particular t {\displaystyle t} , pode-se observar a sequência até 8️⃣ o momento e dizer se é hora de parar.

Um exemplo na vida real pode ser o tempo em que um 8️⃣ apostador deixa a mesa de apostas, o que pode ser uma função de suas vitórias anteriores (por exemplo, ele pode 8️⃣ deixar a mesa apenas quando ele vai à falência), mas ele não pode escolher entre ficar ou sair com base 8️⃣ no resultando de jogos que ainda não ocorreram.[16]

Em alguns contextos, o conceito de tempo de parada é definido exigindo-se apenas 8️⃣ que a ocorrência ou não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau =t} seja probabilisticamente independente de X t 8️⃣ + 1 , X t + 2 , ...

{\displaystyle X_{t+1},X_{t+2},...

} , mas não que isto seja completamente determinado pelo histórico 8️⃣ do processo até o tempo t {\displaystyle t} .

Isto é uma condição mais fraca do que aquela descrita no parágrafo 8️⃣ acima, mas é forte o bastante para servir em algumas das provas em que tempos de parada são usados.

Uma das 8️⃣ propriedades básicas de martingales é que, se ( X t ) t > 0 {\displaystyle (X_{t})_{t>0}} for um (sub/super)martingale e 8️⃣ τ {\displaystyle \tau } for um tempo de parada, então, o processo parado correspondente ( X t τ ) t 8️⃣ > 0 {\displaystyle (X_{t}^{\tau })_{t>0}} definido por X t τ := X min { τ , t } {\displaystyle X_{t}^{\tau 8️⃣ }:=X_{\min\{\tau ,t\}}} é também um (sub/super) martingale.

O conceito de um martingale parado leva a uma série de teoremas importantes, incluindo, 8️⃣ por exemplo, o teorema da parada opcional, que afirma que, sob certas condições, o valor esperado de um martingale em 8️⃣ um tempo de parada é igual ao seu valor inicial.

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